ПІДХІД ДО ПЕРЕВІРКИ СУПЕРСИНГУЛЯРНОСТІ ЕЛІПТИЧНИХ КРИВИХ І ОБЧИСЛЕННЯ ЇХ ПОРЯДКУ

Анотація

Більшість криптосистем сучасної криптографії природним чином можна «перекласти» на еліптич- ні криві. Ми розглядаємо алгебраїчні криві Едвардса над скінчнним полем, які на даний час є одним з найбiльш пер- спективних носiїв множин точок, що використовують для швидких групових операцій [1; 2; 14], які наявні в асиме- тричних криптосистемах, зокрема для побудови випадкових криптостійких послідовностей. Показано, що проективна крива Ea d, не є елiптичною. Метою роботи є пошук критерію і достатніх умов супер- сингулярності кривої Едвардса і еліптичної кривої у формі Монтгомері над простим полем p , а потім узагальнен- ня цього критерія для скінченного алгебраїчного розширення цього поля до Fpn . Отриманий результат дозволяє побудувати всі суперсингулярні криві Едварса і Монтгомері не розкладаючи на множники многочлен від x який наявний у записі кривої. В роботі [10] було представлене доведення суперсингулярності кривої Ed лише для коефіцієнтів d 2, d 21 над p , нашою ж метою є дослідження всіх коефіцієнтів при яких ця крива є суперсингулярною. В нашій роботі знай- дено критерії і достатні умови суперсингулярності кривої Едвардса і еліптичної кривої у формі Монтгомері над полем Fpn , тобто досліджено при яких коефіцієнтах отримується пара кривих зі слідом Фробеніуса рівним 0. При цьому криві Монтгомері над полем характристики 2 мають нульовий j-інварівант. Знайдено не тільки конкретну множину коефіцієнтів з відповідними характеристиками полів при яких ці криві є суперсингулярними а й загальну формулу за якою можна визначити чи є крива суперсингуярною над даним полем чи ні. В роботі узагальнено резуль- тат про суперсингулярність кривої над p отриманий в [10] для коефіцієнтів d 2, d 21 на випадок довільного розширення простого поля pn та уточнено формулювання теореми 3 з [10]. Зроблено аналогічне дослідження і для еліптичних кривих у формі Монтгомері.