ДОСЛІДЖЕННЯ БАГАТОЗВ'ЯЗНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ШЛЯХОМ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРА I РОДУ МЕТОДОМ КОЛОКАЦІЙ
DOI:
https://doi.org/10.32689/maup.it.2023.1.10Ключові слова:
інтегральні рівняння Вольтера, багатозв'язні динамічні системи, метод колокаціїАнотація
Багатозв'язні динамічні системи характеризуються великою кількістю взаємопов'язаних вхідних та вихідних величин, що визначає складність їхнього математичного опису. Числове моделювання таких систем у вигляді систем інтегральних рівнянь Вольтера є ефективним підходом, проте вимагає реалізації операторів Вольтера. Їх особливістю є накопичення обчислень на кожному наступному кроці апроксимації. Як наслідок зменшення кроку апроксимації призводить до значного зростання кількості обчислювальних операцій. Це висуває особливі вимоги до простоти та швидкодії відповідних алгоритмів. В роботі досліджено ефективність застосування методу колокації на основі кусково-гладких поліномів до розв’язання такого класу рівнянь. Метод колокації заснований на отриманні рішення на ділянках, довжина яких вибирається, і на кожному з них застосовується апроксимуючий вираз з невеликим числом координатних функцій. Великою перевагою алгоритмів на основі методу колокацій є велика гнучкість при виборі параметрів заміни функцій кусково-гладкими поліномами. Запропоновані алгоритми реалізовано в системі комп’ютерної математики MATLAB у вигляді функції slvie1colloc. Складові частини системи інтегральних рівнянь (ядра, праві частини) передаються аргументами програми у виді анонімних функцій або у табличному виді числових значень функцій в вузлах апроксимації. Додатковими аргументами є числові значення вузлів апромаксимаційної сітки, степені поліному та початкових умов інтегрального рівняння. Програма виконує перевірку вхідних даних, при некоректних значеннях виводиться код помилки та переривання роботи програми. Проведено апробацію комп’ютерної програми за допомогою обчислювальних експериментів. Описані результати продемонстрували ефективність запропонованих рішень. Абсолютна похибка обчислень для розглянутої моделі у вигляді системи інтегральних рівнянь Вольтера I роду з ядром загального виду при заданих параметрах не перевищила 3,5 * 10–3.
Посилання
Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Київ: Наукова думка, 1986. 544 с.
Hermann Brunner. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations. Cambridge University Press, 2004. 597 p.
Верлань А.А., Волощенко А.Б., Сагатов М.В. Коллокационный алгоритм решения уравнения Вольтерры I рода. Зб. наук. праць ІПМЕ НАНУ. Вип. 13. Київ: 2001. С. 97–100.
Понеділок В.В., Грищук В.А. Розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри методом колокацій. Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації: тези доповідей 9-ї Міжнародної наукової конференції. Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка. 2020. 136 с.
Дячук О.А., Костьян Н.Л. Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры. Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки, 2008. Випуск 17. 49-62
Armand A., Gouyandeh Z. Numerical solution of the system of Volterra integral equations of the first kind. Int. J. Industrial Mathematics. Vol. 6, No. 1, 2014. DOI:10.35629/5252-0501801807.
Padmanabha A. Reddy, Manjula S. H., Sateesha3 C. Haar wavelet method for solving the system of linear Volterra integral equations with variable coefficients. Malaya Journal of Matematik. 2021. Vol. 9, No. 1, P. 1-8. DOI: 10.26637/MJM0901/0001
Fawziah M. Al-Saar, Ahmed A. Hamoud, Kirtiwant P. Ghadle. Some Numerical Methods to Solve a System of Volterra Integral Equations. Int. J. Open Problems Compt. Math. 2019. Vol. 12, No. 4. P. 22-35.
Biazar J., Babolian E., Islam R. Solution of a system of Volterra integral equations of the first kind by Adomian method. Applied Mathematics and Computation. 2004. Vol. 147(3). P. 713-719. DOI:10.1016/S0096-3003(02)00806-8.
Biazar J., Babolian E., Islam R. Solution of a system of Volterra integral equations of the first kind by Adomian method. Applied Mathematics and Computation. 2003. Vol. 139. Issues 2–3. P. 249–258. DOI: 10.1016/S0096-3003(02)00173-X.
